Origami - Separador
.:Origami e Matemática:. 

Uma brincadeira para principiantes.

Vou mostrar uma pequena aplicação do Origami na Matemática (e vice-versa), particularmente na Geometria Plana.

Os resultados parecerão óbvios, no entanto, os passos são muito atractivos para quem se inicia ou em Origami, ou na Geometria Plana. Parecem magia!

Dada a sua simplicidade, é possível realizá-los durante uma aula.


Como o Origami é uma arte que envolve movimento do papel e raciocínio por quem o dobra, esta introdução será interactiva - terá que se dobrar papel!

Para aumentar o coeficiente de surpresa... é imprescindível que se executem as tarefas pedidas, à medida que o texto é lido...

Se a curiosidade "quase matar" (não há necessidade de se morrer tão novo!), e não se ler tudo até ao fim, vai perder-se todo o prazer da descoberta!

São tarefas aparentemente simples, mas numa super sequência cientifica! ;)

Como base de trabalho vão ser utilizadas folhas de papel quadradas, que podem ser facilmente criadas a partir de qualquer folha rectangular.

Como o fazer?... Um grande segredo...

Posto a descoberto já de seguida. Já agora, não fica mal dar uma olhadela a toda a simbologia que vai ser utilizada ao longo deste artigo.

Simbologia

   

Símbolo

Significado Exemplo
Dobra em vale
Dobra em montanha
Dobra para a frente
Dobra para trás
Afundar
Cortar

O rectângulo que se fez quadrado

O quadrado tem uma largura - a e uma área - a2.

Vamos então começar com a lição:

Em primeiro lugar vamos dobrar o quadrado ao meio transversalmente.

Resultado: um quadrado pode ser decomposto em dois rectângulos iguais, de lados, respectivamente, a e a/2.


Mas... há ainda outra maneira de dobrar um quadrado ao meio, qual?... Que tal na diagonal?

Resultado: um quadrado pode ser decomposto em dois triângulos, mais especificamente triângulos rectângulos, com catetos de lado a.

Tanto o rectângulo obtido na primeira dobragem, como o triângulo da segunda, têm ambos a mesma área! Não parece, pois não?

Conclusão: um quadrado pode então ser decomposto ou em dois rectângulos iguais, ou em dois triângulos iguais, tendo todos a mesma área!


Vamos então avançar um pouco mais!
(Isto foram somente as bases)

Se possível, deve utilizar-se a partir de agora duas folhas quadradas de cores diferentes. Assim será mais fácil verificar todas as diferenças e semelhanças.

Vamos dobrar umas das folhas de forma a criar a base da flor, como se pode ver no diagrama seguinte.

Quantos quadrados se consegue contar no exterior? Quais são as suas dimensões?

Conclusão: um quadrado pode ser formado por quatro outros quadrados, mais pequenos, cada um com uma largura a/2 e uma área (a2)/4.


Vamos agora dobrar a outra folha, afim de criar a base da bomba de água.

Quantos triângulos é possível contar? Quais são as suas dimensões?

Conclusão: um quadrado também pode ser formado por quatro triângulos, cada um com uma hipotenusa de largura a (qual a largura dos catetos?) e uma área (a2)/4 relativamente ao quadrado-mor.


Devido a efeitos ópticos, a segunda base parece ser "maior" do que a primeira, certo?
Mas, na realidade, são iguais.

Magicamente cada uma das bases é a inversa da outra! ...hã?!

Ou seja, consegue-se transformar um quadrado, decomposto em triângulos, num decomposto em quadrados mais pequenos, e vice versa, sem aplicar qualquer tipo de cortes!

Cada uma das mini-unidades irá dar outra mini-unidade invertida! (mais precisamente, cada meia unidade de cada duas mini-unidades dará a sua inversa) - complicado?

Vamos então a mais um exemplo para clarificar as ideias.

Como se faz? Simples!
Só é necessário
pegar numa das bases e empurrar o bico superior, como indicado na figura, até...

..::: P O P ! ! :::..

...aparecer magicamente a outra base.

(Dica: enquanto se puxam as abas opostas, para fora e para cima, com os dedos indicadores de cada mão, empurra-se o bico, com um polegar, na direcção oposta!)

Mas as bases são ou não são iguais?
É facílimo comparar, introduzindo uma dentro da outra!


Moral da história:
Consegue provar-se duas ideias diferentes, recorrendo a um mesmo processo!
Inicialmente, caminha-se em direcções opostas, mas chega-se ao mesmo resultado!

É destes desafios que os Matemáticos gostam!

Dou comigo a pensar nas considerações que isto pode ter a nível filosófico!... Dão que pensar!!... :-) Estou a brincar! ;-)

 

 

 

Conteúdo:
© 2002 Rudolf Appelt

Produção: